zu a)
Waagerechte Tangete   →   Steigung der Tangente ist Null.
Die Steigung der Tangente erhält man über die 1. Ableitung der Funktion, also   →   f '(x) = 0
f₁'(x) = - 2 ⋅ x = 0   →   x = 0
Der Graph der Funktion f₁ hat an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangete.
f₂'(x) = 6 ⋅ x² + 6 ⋅ x - 12 = 0   →   x₁ = -2 und x₂ = 1
Der Graph der Funktion f₂ hat an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 eine waagerechte Tangete.

zu b)
Seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann gilt: h(x) = $\frac{\mathrm{f(x)}}{\mathrm{g(x)}}$   →   h '(x) = $\frac{\mathrm{g(x)\cdot f \text{'}(x) - g \text{'}(x)\cdot f(x)}}{{\mathrm{(g(x))}}^2}$

zu c)
Die erste Ableitung einer Funktion f beschreibt die Änderungsrate dieser Funktion bezüglich ihrer Variablen. Sie gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x an.
$$f'(x)~=~\lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}$$
zu d)
Ansatz: f '(x) = 3   →   2 ⋅ x + 1 = 3   →   x = 1
An der Stelle x = 1 hat der Graph der Funktion f(x) = x² + x die Steigung m = 3.

Ansatz: f '(4) berechnen   →   2 ⋅ 4 + 1 = 9
An der Stelle x = 4 hat der Graph von f die Steigung 9.

a) f '(x) = 12x³ + 4x - 5
b) f '(x) =$\frac{\mathrm{-3}}{x^2}$
c) f '(u) = -6u²x
d) f '(a) = 5x² - 2
e) f '(x) = -2 ⋅ (2x - 2)^-2
f) f '(x) = (4x + 1) ^-1 - 4x ⋅ (4x + 1) ^-2
g) f '(x) = $\sqrt{{\mathrm{7x}}^3+\mathrm{2x}}$ + $\frac{1}{2}$⋅x ⋅ (7x³ + 2x)^-0,5 ⋅ (21x² + 2)
h) f '(x) = $\frac{\mathrm{(7x+2) \cdot (8x+6) - 7 \cdot }{\mathrm{(4x}}^2+\mathrm{6x)}}{{\mathrm{(7x+2)}}^2}$
i) f '(x) = $\frac{1}{2}$ ⋅ $x^{-\frac{1}{2}}$ + $\frac{2}{3}$ ⋅ $x^{-\frac{1}{3}}$
j) f '(x) = 28x³ + 6x + $\frac{1}{x^2}$
k) f '(x) = 4⋅(x + 3)³ ⋅ (2x - 6) + 2⋅(x + 3)⁴
l) f '(x) = 10ax

zu a):
Ansatz: f '(3) berechnen mit f '(x) = 9 ⋅ x² + 8 ⋅ x   →   f '(3) = 9 ⋅ 3² + 8 ⋅ 3 = 105
y-Koordinate des Punktes P berechnen: f(3) = 3 ⋅ 3³ + 4 ⋅ 3² − 5 = 112   →   P(3/112)
Im Punkt P(3/112) hat der Graph von f die Steigung 105.

zu b)
Ansatz: f '(-2) berechnen mit f '(x) = 4 ⋅ x³ - 18 ⋅ x²   →   f '(-2) = 4 ⋅ (-2)³ - 18 ⋅ (-2)² = -104
y-Koordinate des Punktes P berechnen: f(-2) = (-2)⁴ − 6 ⋅ (-2)³ = 64   →   P(-2/64)
Im Punkt P(-2/64) hat der Graph von f die Steigung -104.

Ansatz: Die Aleitungsfunktionen gleichsetzen   →   f '(x) = g '(x)
f '(x) = -6x + 12           g '(x) = 6x²
Gleichetzen: -6x + 12 = 6x²   →   6x² + 6x - 12 = 0   →   x² + x - 2 = 0   →   x₁ = -2 und x₂ = 1
An der Stelle x₁ = -2 haben die Funktionen die gleiche Steigung f '(-2) = g '(-2) = 24.
An der Stelle x₂ = 1 haben die Funktionen die gleiche Steigung f '(1) = g '(1) = 6.

zu a)
Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen: f(x) = 0   →   x² − 4x = 0   →   x₁ = 0 und x₂ = 4   →   P₁(0/0) und P₂(4/0)
Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen: x = 0   →   f(0) = 0² − 4 ⋅ 0 = 0   →   P₃(0/0) entspricht P₁
jeweilige Steigungen bestimmen mit f '(x) = 2x - 4:
für P₁: f '(0) = 2 ⋅ 0 - 4 = -4   →   Die Steigung an den Graphen von f in P₁ beträgt -4.
für P₃: f '(4) = 2 ⋅ 4 - 4 = 4   →   Die Steigung an den Graphen von f in P₂ beträgt 4.

zu b)
Ansatz: f '(x) = 6   →   2x - 4 = 6   →   x = 5
An der Stelle x = 5 hat der Graph die Steigung 6.

zu c)
Ansatz: f '(x) = 0   →   2x - 4 = 0   →   x = 2
An der Stelle x = 2 hat der Graph eine waagerechte Tangente.

zu a)
K(3) = $\frac{1}{\mathrm{64}}$⋅3³ - $\frac{3}{\mathrm{16}}$⋅3² + 3 + 1 ≈ 2,73
K(7) = $\frac{1}{\mathrm{64}}$⋅7³ - $\frac{3}{\mathrm{16}}$⋅7² + 7 + 1 ≈ 4,17
Wenn 3 Einheiten produziert werden, betragen die Kosten etwa 27300 €.
Wenn 7 Einheiten produziert werden, betragen die Kosten etwa 41700 €.

zu b)
Die Umsatzfunktion ist U(x) = 0,8 ⋅ x.
Die Gewinnfunktion ist G(x) = U(x) - K(x) = 0,8 ⋅ x - ($\frac{1}{\mathrm{64}}$⋅x³ - $\frac{3}{\mathrm{16}}$⋅x² + x + 1) = -$\frac{1}{\mathrm{64}}$⋅x³ + $\frac{3}{\mathrm{16}}$⋅x² - 0,2x - 1.

Um den maximalen Gewinn zu berechnen, muss ein Extremwert der Gewinnfunktion berechnet werden.
Notwendige Bedingung: G '(x) = 0   →   G '(x) = -$\frac{3}{\mathrm{64}}$⋅x² + $\frac{3}{8}$ x - 0,2 = 0   →   x² - 8x + $\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{15}}$ = 0
Daraus folgt, mögliche Extremstellen sind x₁ ≈ 0,575 sowie x₂ ≈ 7,425
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung der hinreichenden Bedingung
mit G ''(x) = -$\frac{6}{\mathrm{64}}$⋅x + $\frac{3}{8}$:
G ''(0,575) ≈ 0,32 > 0   →   An der Stelle x₁ liegt ein Minimum vor.
G ''(7,425) ≈ -0,32 < 0   →   An der Stelle x₂ liegt ein Maximum vor.

Maximalen Gewinn berechnen: G(7,425) = -$\frac{1}{\mathrm{64}}$⋅7,425³ + $\frac{3}{\mathrm{16}}$⋅7,425² - 0,2⋅7,425 - 1   →   G(7,425) ≈ 1,46
Der Gewinn wird maximal, wenn etwa 7425 Rechner verkauft werden. Der Gewinn beträgt dann etwa 14600 €.

Es gilt:
$$f'(x)~=~\lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}~=~ \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}~=~ \lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{(x+h)\cdot x}}{h}~=~ \lim_{h \to 0}\frac{\frac{-h}{(x+h)\cdot x}}{h}~=~ \lim_{h \to 0}\frac{-1}{(x+h)\cdot x}~=~ -\frac{1}{x^2}$$

Kleine Anleihe aus der Logik: A und B seien Aussagen , die entweder wahr oder falsch sein können.
Gegeben sei eine Folgerung (oder Implikation): A → B    (in Worten: 'Wenn A so B' oder auch 'aus A folgt B')
Anmerkung: A heißt Prämisse oder Voraussetzung und B Konklusion oder Behauptung.
Zur Begriffsbildung:
Die (wahre) Aussage A ist hinreichend, um die (wahre) Aussage B folgern zu können.
Die (wahre) Aussage B wiederum ist notwendig, falls die Aussage A wahr sein soll (, denn wenn A wahr ist, kann man daraus ja B folgern).
zu a)
Die Bedingung 'jeweils gegenüberliegende Seiten sind parallel' ist notwendig dafür, dass ein Trapez ein Rechteck ist, aber sie ist nicht hinreichend (denn es könnte dann auch eine Raute sein).
zu b)
Die Bedingung 'alle Seiten sind gleich lang und es gibt vier rechte Winkel' ist hinreichend dafür, dass ein Trapez ein Rechteck ist, aber sie ist nicht notwendig (denn das Rechteck muss kein Quadrat sein).
zu c)
Die Bedingung 'es gibt vier rechte Winkel' ist hinreichend dafür, dass ein Trapez ein Rechteck ist, und sie ist auch notwendig.

Der Graph von f ist nicht eindeutig. Er kann entlang der y-Achse verschoben werden.

zu a)
Die Umsatzfunktion ist U(x) = 60 ⋅ x.
Die Gewinnfunktion ist G(x) = U(x) - K(x) = 60 ⋅ x - ($\frac{1}{\mathrm{30}}$⋅ x³ - 2⋅x² + 10⋅x + 250) = -$\frac{1}{\mathrm{30}}$⋅ x³ + 2⋅x² + 50⋅x - 250.

zu b)
Um den maximalen Gewinn zu berechnen, muss ein Extremwert der Gewinnfunktion berechnet werden.
Notwendige Bedingung: G '(x) = 0   →   G '(x) = -0,1⋅x² + 4⋅x + 50 = 0   →   x² - 40x - 500 = 0
Daraus folgt, mögliche Extremstellen sind x₁ = -10 sowie x₂ = 50.
Negative Werte liegen nicht im Definitionsbereich.
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung der hinreichenden Bedingung
für x₂ mit G ''(x) = -0,2⋅x + 4:
G ''(50) = -6 < 0   →   An der Stelle x₂ liegt ein Maximum vor.
Gewinn berechnen: G(50) = 3083 $\frac{1}{3}$
Der Gewinn wird maximal, wenn 50 Säcke verkauft werden. Der Gewinn beträgt dann 3083,33 €.

zu c)
G(40) berechnen:
G(40) ≈ 2816,67   →   Bei 40 verkauften Säcken beträgt der Gewinn 2816,67 €.
G(5) ≈ 45,83   →   Bei 5 verkauften Säcken beträgt der Gewinn 45,83 €.
G(4) ≈ -20,13   →   Bei 4 verkauften Säcken beträgt der Verlust 20,13 €.
Er muss mindestens 5 Säcke verkaufen, um einen Gewinn zu erzielen. (Anmerkung: Ab 78 Säcken macht er wieder Verlust.)

zu a)
Die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion ist die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion: v(t) = h'(t) = -9,6⋅t
Dann v(0,5) = -9,6⋅t = -4,8
Nach 0,5 s besitzt er eine Geschwindigkeit von -4,8 $\frac{m}{s}$.
Das Minuszeichen drückt aus, dass die Geschwindigkeit nach unten gerichtet ist.

zu b)
Zuerst ist die Zeit bis zum Eintauchen zu berechnen. Es gilt: h(t) = 0 = 10 – 4,8t²   →   t = $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{12}}$ s
Nun in die Geschwindigkeitsfunktion einsetzen: v($\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{12}}$) = -9,6⋅$\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{12}}$ = -20
Beim Eintauchen besitzt der Springer eine Geschwindigkeit von v = -20 $\frac{m}{s}$ = -72 $\frac{\mathrm{km}}{h}$.

1. Ableitungen:
f '(x) = 3⋅x² - 2⋅x - 1     f ''(x) = 6⋅x - 2     f '''(x) = 6

2. Symmetrie:
Die Funktion ist weder punkt- noch achsensymmetrisch, denn f ist eine ganzrationale Funktion mit geraden und ungeraden Exponenten.

3. Schnittpunkte mit den Achsen:
Schnittpunkt mit der x-Achse sind Nullstellen:
Ansatz: f(x) = 0
Erste Nullstelle raten mit x₁ = 1   →   dann Polynomdivision (x³ – x² – x + 1) : (x-1) = x² - 1
Aus x² - 1 = 0   →   x₂ = 1 und x₃ = -1
Insgesamt: Nullstellen sind N₁ (1/0) sowie N₂ (-1/0)
Da N₁ doppelte Nullstelle ist, liegt an der Stelle x = 1 ein Berührpunkt der x-Achse vor.
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) = 1   →   (0/1) ist der Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse

4. Extremwerte.
Notwendige Bedingung: f '(x) = 0   →   f '(x) = 3⋅x² - 2⋅x - 1 = 0   →   x² - $\frac{2}{3}$x - $\frac{1}{3}$ = 0
Daraus folgt, mögliche Extremstellen sind x₁ = -$\frac{1}{3}$ sowie x₂ = 1.
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung f ''(x_i) = 6⋅x_i - 2 ≠ 0:
f ''(-$\frac{1}{3}$) = 6⋅(-$\frac{1}{3}$) - 2 = -4 < 0   →   E₁(-$\frac{1}{3}$/-$\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{27}}$) ist rel. Maximum
f ''(1) = 6⋅1 - 2 = 4 > 0   →   E₂(1/0) ist rel. Minimum.

5. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung: f ''(x) = 0   →   f ''(x) = 6⋅x - 2 = 0   →   x = $\frac{1}{3}$ ist mögliche Wendestelle.
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung f '''($\frac{1}{3}$) = 6 ≠ 0.
Daraus folgt: W($\frac{1}{3}$/$\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{27}}$) ist Wendepunkt vom Graphen von f.

6. Verhalten für sehr kleine und sehr große x:
$$\lim_{x \to -\infty} f(x)~=~-\infty ~~~~~~~~~\lim_{x \to +\infty} f(x)~=~+\infty$$

zu a)
Die erste Ableitung einer Funktion f beschreibt die Änderungsrate dieser Funktion bezüglich ihrer Variablen. Sie gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x an.
$$f'(x_0)~=~\lim_{x \to x_0} \frac {f(x-x_0) - f(x_0)} {x-x_0}$$

zu b)
Die momentane Änderungsrate gibt die Änderungsrate einer Funktion f an einem Punkt P₀ ( x₀ , f(x₀)) an (entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von f an P₀), also f '(x₀) (s. Aufgabenteil a)
Die durchschnittliche Änderungsrate m einer Funktion gibt die als konstant betrachtete Änderungsrate innerhalb eines Intervalls [x₀ , x] an (entspricht der Steigung der Sekante zwischen den Punkten P₀ ( x₀ , f(x₀)) und P₁ ( x , f(x)) , also m = $\frac{{\mathrm{f(x)-f(x}}_0)}{{\mathrm{x-x}}_0}$.
Von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate gelangt man durch Grenzwertbildung, falls x → x₀ geht (s. Definition der Ableitung).

zu c)
Seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann gilt: h(x) = f(x) ⋅ g(x)   →   h '(x) = f '(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g '(x)

zu d)
Ansatz: f '(x) = 1   →   4 ⋅ x = 1   →   x = $\frac{1}{4}$
An der Stelle x = 0,25 hat der Graph der Funktion f(x) = 2x² – 1 die Steigung m = 1.

Ansatz: f '(-2) berechnen   →   4 ⋅ (-2) = -8
An der Stelle x = -2 hat der Graph von f die Steigung -8.

a) f '(x) = 12x³ - 6x²
b) f '(x) = 3a - 2x
c) f '(a) = 3x
d) f '(x) = 12⋅(2x - 1)¹¹ ⋅ x + (2x - 1)¹² = (2x - 1)¹¹ ⋅ (14x - 1)
e) f '(x) = $\frac{\mathrm{(x-1)\cdot 2x-}{\mathrm{(x}}^2+\mathrm{4)}}{{\mathrm{(x}-\mathrm{1)}}^2}$
f) f '(x) = 0

Der Definitionsbereich der Funktion umfasst die natürlichen Zahlen. Die Berechnung erfolgt aber im Reellen und wird ggfs angepasst.
zu a)
Sei p der Preis für eine Figur in €. Dann gilt für die Umsatzfunktion U(x) = p ⋅ x.
Mit p ⋅ 2 = 1008   →   p = 504   →   Umsatzfunktion: U(x) = 504 ⋅ x

zu b)
Die Gewinnfunktion ist G(x) = U(x) - K(x) = 504 ⋅ x - (1,5x³ -30x² + 450x + 600) = -1,5x³ + 30x² + 54x – 600.

zu c)
x = 4 einsetzen in die Gewinnfunktion: G(4) = -1,5 ⋅ 4³ + 30 ⋅ 4² + 54 ⋅ 4 – 600 = 0
Da er bei 4 Figuren keinen Gewinn erzielt (und keinen Verlust), ist die Behauptung von Helmfried wahr.

zu d)
Um den maximalen Gewinn zu berechnen, muss ein Extremwert der Gewinnfunktion berechnet werden.
Notwendige Bedingung: G '(x) = 0   →   G '(x) = -4,5x² + 60x + 54 = 0
Daraus folgt, mögliche Extremstellen sind x₁ ≈ -0,85 sowie x₂ ≈ 14,2
Negative Werte liegen nicht im Definitionsbereich.
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung der hinreichenden Bedingung
für x₂ mit G ''(x) = -9x + 60:
G ''(14,2) ≈ -67,8 < 0   →   An der Stelle x₂ liegt ein Maximum vor.
Nur natürliche Zahlen verwenden:
Gewinn berechnen: G(14) = 1920      G(15) = 1897,5
Der Gewinn wird maximal, wenn 14 Figuren hergestellt werden. Der Gewinn beträgt dann 1920 €.

zu e)
Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt der Kostenfunktion: K ''(x) = 0 mit K ''(x) = 9⋅x - 60.
K ''(x) = 0   →   x = $\frac{\mathrm{20}}{3}$
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung der hinreichenden Bedingung K '''(x) = 9 ≠ 0.
An der Stelle x = $\frac{\mathrm{20}}{3}$ liegt ein Wendepunkt vo.
Bedeutung des Punktes im Sachzusammenhang: An dieser Stelle ändern sich die Kosten am stärksten.

zu a)
Die Bedingung f(2) = g₁(2) muss erfüllt sein, damit sich die beiden Straßen überhaupt im Punkt (2/1) 'treffen' (also schneiden oder berühren).
Die Bedingung f '(2) = g₁ '(2) muss erfüllt sein, damit an der Stelle x = 2 kein 'Knick' entsteht.

zu b)
Es gilt: g₁(2) = 0,5⋅2 = 1     g₁ '(2) = 0,5     g₁ ''(2) = 0
f(2) = 0,125⋅2² + 0,5 = 1 = g₁(2)
f '(x) = 0,25⋅x   →   f '(2) = 0,25⋅2 = 0,5 = g₁'(2)
Beide Bedingungen werden von f erfüllt.

zu c)
Wenn die zweiten Ableitungen an der Stelle x = 2 nicht übereinstimmen, bedeutet das, dass die Krümmungen der Funktion an dieser Stelle unterschiedlich sind. Für Autofahrer bedeutet es, dass das Steuer an dieser Stelle dann nicht gerade steht (obwohl man entlang der Funktion g dann weiter geradeaus fährt).
f '' (x) = 0,25   →   f ''(2) = 0,25 ≠ 0 = g₁''(2)
Die zweiten Ableitungen stimmen an der Stelle x = 2 nicht überein.

zu d)
Es ist: h'(x) = -$\frac{1}{\mathrm{32}}$ x³ + $\frac{3}{8}$ x sowie h''(x) = -$\frac{3}{\mathrm{32}}$ x² + $\frac{3}{8}$
Dann: h(2) = -$\frac{1}{\mathrm{128}}$⋅2⁴ + $\frac{3}{\mathrm{16}}$⋅2² + $\frac{3}{8}$ = 1 und h'(2) = -$\frac{1}{\mathrm{32}}$⋅2³ + $\frac{3}{8}$ ⋅ 2 = 0,5 sowie h''(2) = -$\frac{3}{\mathrm{32}}$⋅2² + $\frac{3}{8}$ = 0
h erfüllt alle drei Bedingungen.

Der Graph von f ist nicht eindeutig. Er kann entlang der y-Achse verschoben werden.

Hinweis: s. auch die zugehörige Übungsaufgabe
Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 2 und 3 teilbar.
zu a)
Die Bedingung 'die Zahl ist durch 3 teilbar' ist notwendig dafür, dass eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, aber sie ist nicht hinreichend (denn die Zahl muss nicht durch 2 teilbar sein. Beispiel: Zahl 9).
zu b)
Die Bedingung 'die Zahl ist durch 12 teilbar' ist hinreichend dafür, dass eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, aber sie ist nicht notwendig (denn z.B. die Zahl 18 ist nicht durch 12 teilbar).
zu c)
Die Bedingung 'Die Zahl ist durch 3 und durch 2 teilbar' ist hinreichend dafür, dass eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, und sie ist auch notwendig.