1. Ableitungen:
f '(x) = 8⋅x³ + 21⋅x² + 10⋅x     f ''(x) = 24⋅x² + 42⋅x + 10     f '''(x) = 48⋅x + 42

2. Symmetrie:
Die Funktion ist weder punkt- noch achsensymmetrisch, denn f ist eine ganzrationale Funktion mit geraden und ungeraden Exponenten.

3. Schnittpunkte mit den Achsen:
Schnittpunkt mit der x-Achse sind Nullstellen:
Ansatz: f(x) = 0
Ausklammern: x² ⋅ (2⋅x² + 7⋅x + 5) = 0  →   x₁ = 0 ist doppelte Nullstelle
Aus 2⋅x² + 7⋅x + 5 = 0   →   x₂ = -2,5 und x₃ = -1
Insgesamt: Nullstellen sind N₁ (0/0) , N₂ (-2,5/0) sowie N₃ (-1/0)
Da N₁ doppelte Nullstelle ist, liegt an der Stelle x = 0 ein Berührpunkt der x-Achse vor.
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) = 0   →   (0/0) ist der Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse

4. Extremwerte.
Notwendige Bedingung: f '(x) = 0   →   f '(x) = 8⋅x³ + 21⋅x² + 10⋅x = x ⋅ (8⋅x² + 21⋅x + 10) = 0
  →   x_E1 = 0 oder (8⋅x² + 21⋅x + 10) = 0
aus x² + $\frac{\mathrm{21}}{8}$x + $\frac{\mathrm{10}}{8}$ = 0   →   x_E2 = -2 oder x_E3 = -0,625
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die
hinreichende Bedingung f ''(x_i) = 24⋅x² + 42⋅x + 10 ≠ 0:
f ''(0) = 24⋅0² + 42⋅0 + 10 = 10 > 0   →   E₁(0/0) ist rel. Minimum
f ''(-2) = 24⋅(-2)² + 42⋅(-2) + 10 = 190 > 0   →   E₂(-2/-4) ist rel. Minimum.
f ''(-0,625) = 24⋅(-0,625)² + 42⋅(-0,625) + 10 = -6,875 < 0   →   E₃(-0,625/0,549) ist rel. Maximum.

5. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung: f ''(x) = 0   →   f ''(x) = 24⋅x² + 42⋅x + 10 = 0
  →   x₁ ≈ -1,466 oder x₂ ≈ -0,284 sind mögliche Wendestellen.
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung f '''(x)≠ 0.
f '''(-1,466) = 48⋅(-1,466) + 42 < 0   →   W₁(-1,466/-2,07) ist Wendepunkt
f '''(-0,284) = 48⋅(-0,284) + 42 > 0   →   W₂(-0,284/0,256) ist Wendepunkt

6. Verhalten für sehr kleine und sehr große x:
$$\lim_{x \to -\infty} f(x)~=~+\infty ~~~~~~~~~\lim_{x \to +\infty} f(x)~=~+\infty$$


Wendetangenten bestimmen mit dem Ansatz t(x) = m ⋅ x + b:
für W₁ (-1,466/-2,07):
Die Steigung m entspricht der Ableitung an der Wendestelle:
m = f '(x₁) = f '(-1,466) = 8⋅(-1,466)³ + 21⋅(-1,466)² + 10⋅(-1,466) ≈ 5,27
Um b zu berechnen, setzt man den Wendepunkt in die Tangentengleichung ein:
b = f(-1,466) - f '(-1,466) ⋅ (-1,466) ≈ -2,07 - 5,27 ⋅ (-1,466) ≈ 5,66
Insgesamt t₁(x) = 5,27 ⋅ x + 5,66
Entsprechend für t₂: m₂ = f '(-0,284) ≈ -1,33 sowie b₂ ≈ 0,256 - (-1,33) ⋅ (-0,284) ≈ -0,12
Insgesamt t₂(x) = -1,33 ⋅ x - 0,12
Tangentengleichungen gleichsetzen: t₁(x) = t₂(x)   →   5,27 ⋅ x + 5,66 = -1,33 ⋅ x - 0,12
Daraus folgt: x_s ≈ -0,88
x_s in eine Tangentengleichung einsetzen. t₁(-0,88) = 5,27 ⋅ (-0,88) + 5,66 ≈ 1,02
Der Schnittpunkt der Wendetangente ist etwa (-0,88/1,02).

a) f '(x) = cos²x - sin²x
b) f '(x) = $\frac{{\mathrm{(x+6)}}^2\mathrm{\cdot 3-2\cdot (x+6)\cdot 3x}}{{\mathrm{(x+6)}}^4}$ = $\frac{\mathrm{-3x+18}}{{\mathrm{(x+6)}}^3}$
c) f '(x) = $\frac{\mathrm{2\cdot (2x\; -\; 2)}}{{\cos }^2{\mathrm{(2\cdot x-2)}}^2}$
d) f '(x) = $\frac{\mathrm{sin(x)}}{{\cos }^2\mathrm{(x)}}$

zu a):
Sei ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b (a,b > 0) gegeben.
Ansatz: Die Länge der Diagonalen d beträgt dann:

Hauptfunktion d(a,b) = $\sqrt{a^2{\mathrm{+b}}^2}$ (Minimum gesucht)
Mit Hilfe der Nebenbedingung wird eine Variable der Hauptfunktion ersetzt. Dann ist die Hauptbedingung nur noch von einer Variablen abhängig.

Nebenbedingung: Umfang u(a,b) = 2⋅a + 2⋅b = 30   →   b = 15 - a
Einsetzen der Neben- in die Hauptbedingung führt zur

Zielfunktion: d(a) = $\sqrt{a^2{\mathrm{+(15-a)}}^2}$ = $\sqrt{{\mathrm{2\cdot a}}^2\mathrm{-30\cdot a+225}}$

Nun muss ein Extremwert ermittelt werden:
Notwendige Bedingung: d '(a) = 0   →   d '(a) = 2 ⋅ (2⋅a² - 30⋅a + 225)^-0,5 ⋅ (4⋅a - 30) = 0
  →  (4⋅a - 30) = 0 (die anderen Faktoren können nicht Null werden)
  →   a_E = 7,5
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung d ''(a_E) ≠ 0.
Allerdings ist die Berechnung der 2. Ableitung von d recht aufwendig. Entweder man verzichtet auf die hinreichende Bedingung (aus Zeitgründen) oder alternativ schaut man, ob ein Vorzeichenwechsel am möglichen Extremwert vorliegt. Dann überprüft man etwa
d'(7) = 2 ⋅ (2⋅7² - 30⋅7 + 225)^-0,5 ⋅ (4⋅7 - 30) ≈ -0,44 < 0 sowie
d'(8) = 2 ⋅ (2⋅8² - 30⋅8 + 225)^-0,5 ⋅ (4⋅8 - 30) ≈ 0,38 > 0
Aus dem Vorzeichenwechsel von Minus zu Plus folgt ein relatives Minimum an der Stelle a_E = 7,5.
Nun noch a_E in die Hauptfunktion oder Zielfunktion sowie die Nebenbedingung einsetzen. Dann ist b_E = 15 - 7,5 = 7,5 und d ≈ 10,61.

Antwort: Die kürzeste Diagonale eines Rechtecks mit dem Umfang 30 cm ist 10,61 cm lang. Dann ist das Rechteck ein Quadrat mit der Seitenlänge 7,5 cm.

zu b)
Nun soll die Oberfläche O der Zündholzschachtel minimiert werden. Die Schachtel ist ein Quader mit den Grundseiten a und b sowie der Höhe h (a,b,h > 0). Deshalb ist der Ansatz:

Hauptfunktion: Oberfläche O(a,b,h) = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅h + 2⋅b⋅h   (gesucht: Minimum)

Nebenbedingungen: a = 5 sowie Volumen V(a,b,h) = a ⋅ b ⋅ h = 5 ⋅ b ⋅ h = 45   →   b = $\frac{9}{h}$

Einsetzen in die Hauptbedingung führt zur
Zielfunktion O(h) = 2⋅5⋅$\frac{9}{h}$ + 2⋅5⋅h + 2⋅$\frac{9}{h}$⋅h = $\frac{\mathrm{90}}{h}$ + 10⋅h + 18

Extremwert ermitteln:
Notwendige Bedingung: O '(h) = 0   →   O '(h) = -$\frac{\mathrm{90}}{h^2}$ + 10 = 0   →  h_E = 3 (die Lösung h = -3 ist nicht sinnvoll)
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung
O ''(h_E) ≠ 0 mit O''(h) = $\frac{\mathrm{180}}{h^3}$.
O ''(h_E) = $\frac{\mathrm{180}}{3^3}$ > 0   →   h_E = 3 ist rel. Minimum.
Nun noch h_E in die Hauptfunktion oder Zielfunktion sowie die Nebenbedingung einsetzen. Dann ist b_E = $\frac{9}{3}$ = 3 und die minimale Oberfläche: O(a,b,h) = 2⋅5⋅3 + 2⋅5⋅3 + 2⋅3⋅3 = 78.

Antwort: Die minimale Oberfläche einer Zündholschachtel mit einem Volumen von 45 cm³ und einer Länge von 5 cm beträgt 78 cm². Dann ist die Schachtel 3 cm breit und 3 cm hoch.

zu a)
Ansatz: f(x) = a₃⋅x³ + a₂⋅x² + a₁⋅x + a₀ und daraus f '(x) = 3⋅a₃⋅x² + 2⋅a₂⋅x + a₁
Bedingungen:
I.   f(0) = 0   →   a₃⋅0³ + a₂⋅0² + a₁⋅0 + a₀ = 0   →   a₀ = 0
II.  f '(0) = 0   →   3⋅a₃⋅0² + 2⋅a₂⋅0 + a₁ = 0   →   a₁ = 0
III. f '(-3) = 6   →   3⋅a₃⋅(-3)² + 2⋅a₂⋅(-3) + a₁ = 6   →   27⋅a₃ - 6⋅a₂⋅ + a₁ = 6   →   27⋅a₃ - 6⋅a₂ = 6
IV. f(-3) = 0   →   a₃⋅(-3)³ + a₂⋅(-3)² + a₁⋅(-3) + a₀ = 0   →   -27⋅a₃ + 9⋅a₂ - 3⋅a₁ + a₀ = 0   →   -27⋅a₃ + 9⋅a₂ = 0
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems können die einschlägig bekannten Verfahren (z.B. Additionsverfahren) verwendet werden - oder einen Taschenrechner bemühen.
Aus III. und IV. folgen a₂ = 2 sowie a₃ = $\frac{2}{3}$
Die Zuordnungsvorschrift lautet: f(x) = $\frac{2}{3}$⋅x³ + 2⋅x²

zu b)
Ansatz: wegen der Achsensymmetrie nur gerade Exponenten, deshalb
f(x) = a₄⋅x⁴ + a₂⋅x² + a₀ und daraus f '(x) = 4⋅a₄⋅x³ + 2⋅a₂⋅x
Bedingungen:
I.   f(0) = 2   →   a₄⋅0⁴ + a₂⋅0² + a₀ = 2   →   a₀ = 2
II.  f(1) = 0   →   a₄⋅1⁴ + a₂⋅1² + a₀ = 0   →   a₄ + a₂ + a₀ = 0   →   a₄ + a₂ = -2 (wegen I.)
III. f '(1) = 0   →   4⋅a₄⋅1³ + 2⋅a₂⋅1 = 0   →   4⋅a₄ + 2⋅a₂ = 0
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems können die einschlägig bekannten Verfahren (z.B. Additionsverfahren) verwendet werden - oder einen Taschenrechner bemühen.
Dann: a₄ = 2 sowie a₂ = -4
Die Zuordnungsvorschrift lautet: f(x) = 2⋅x⁴ - 4⋅x² + 2

zu a)

s. Zeichnung
zu b)
Ansatz: f_k(x_N) = 0   →   x_N² + k⋅x_N – k = 0   →   x_N = -$\frac{k}{2}$ ± $\sqrt{\frac{k^2}{4}\mathrm{+k}}$
Es gibt 2 Nullstellen, falls der Radikand positiv ist.
Deshalb: $\frac{k^2}{4}$ + k > 0   →   k ⋅ (k + 4) > 0
1. Fall: k > 0 und k + 4 > 0   →   k > 0
2. Fall: k < 0 und k + 4 < 0   →   k < - 4
Es gibt 2 Nullstellen, falls k > 0 oder k < - 4 ist.

zu c)
Notwendige Bedingung: f_k'(x) = 2⋅x + k = 0   →   x_E = -$\frac{k}{2}$
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung
f_k''(x_E) ≠ 0 mit f_k''(x) = 2.
f_k''(x_E) = f_k''(-$\frac{k}{2}$) = 2 > 0   →   (-$\frac{k}{2}$ / -$\frac{k^2}{4}$ - k) ist rel. Minimum.

zu d)
Berechne f_k(1) = 1² + k⋅1 – k = 1
Der Funktionswert an der Stelle x = 1 ist unabhängig von dem Parameter k. und beträgt 1. Deshalb besitzen alle Graphen der Funktionenschar den gemeinsamen Punkt (1/1).

zu e)
Der Funktionswert des Minimums beträgt -$\frac{k^2}{4}$ - k. Dieser Ausdruck ist von k abhängig und soll maximiert werden.
Hauptfunktion g(k) = -$\frac{k^2}{4}$ - k soll maximal werden
Notwendige Bedingung: g'(k) = -$\frac{1}{2}$⋅k - 1 = 0   →   k_E = -2
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung
g''(k_E) ≠ 0 mit g''(k) = -$\frac{1}{2}$.
g''(k_E) = g''(-2) = -$\frac{1}{2}$ < 0   →   (-2 / 1) ist rel. Maximum.
Das Minimum der Graphen der Funktionenschar wird für k = -2 maximal. Der größte Wert der Minima beträgt 1. (s. auch Graphik)

zu f)
Um die Ortskurve der Minima zu bestimmen, muss der Parameter k für die Minima (-$\frac{k}{2}$ / -$\frac{k^2}{4}$ - k) eliminiert werden.
Es gilt: x_E = -$\frac{k}{2}$   →   k = - 2⋅x_E
Einsetzen in y_E = -$\frac{k^2}{4}$ - k = -$\frac{{{\mathrm{(-2\cdot x}}_E)}^2}{4}$ - (- 2⋅x_E) = - x_E² + 2⋅x_E.
Ortskurve der Minima: y(x) = - x² + 2⋅x

1. Ableitungen:
f_a'(x) = 3⋅x² - 6⋅a⋅x - 1     f_a''(x) = 6⋅x - 6⋅a     f_a'''(x) = 6

2. Symmetrie:
Die Funktion ist weder punkt- noch achsensymmetrisch, denn f ist eine ganzrationale Funktion mit geraden und ungeraden Exponenten. Ausnahme: Für a = 0 ist die Funktion punktsymmtrisch (nur ungerade Exponenten).

3. Schnittpunkte mit den Achsen:
Schnittpunkt mit der x-Achse sind Nullstellen:
Ansatz: f(x) = 0
1. Nullstelle raten: x_N1 = 3⋅a
Polynomdivision: (x³ – 3⋅a⋅x² - x + 3⋅a) : (x - 3⋅a) = x² -1
Weiter: x² -1 = 0   →   x_N2 = -1 und x_N3 = 1
Insgesamt: Nullstellen sind N₁ (3⋅a/0) , N₂ (-1/0) sowie N₃ (1/0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: f(0) = 3⋅a   →   (0/3⋅a) ist der Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse

4. Extremwerte.
Notwendige Bedingung: f_a'(x) = 0   →   f_a'(x) = 3⋅x² - 6⋅a⋅x - 1 = 0   →   x_E1,2 = a ± $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die
hinreichende Bedingung f_a''(x) = 6⋅x - 6⋅a ≠ 0:
f_a ''(a - $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$) = 6⋅(a - $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$) - 6⋅a = -6⋅ $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$ < 0   →   E₁ ( a - $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$ / f_a(x_E1) ) rel. Maximum.
f_a ''(a + $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$) = 6⋅(a + $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$) - 6⋅a = 6⋅ $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$ > 0   →   E₂ ( a + $\sqrt{a^2+\frac{1}{3}}$ / f_a(x_E2) ) rel. Minimum.


5. Wendepunkte:
Notwendige Bedingung: f_a''(x) = 0   →   f_a''(x) = 6⋅x - 6⋅a = 0   →   x_W = a
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung f_a'''(x_W)≠ 0.
f_a'''(a) = 6 > 0   →   W(a/-2⋅a³ + 2⋅a) ist Wendepunkt.

6. Verhalten für sehr kleine und sehr große x:
$$\lim_{x \to -\infty} f(x)~=~-\infty ~~~~~~~~~\lim_{x \to +\infty} f(x)~=~+\infty$$

Sei n die Anzahl der Stockwerke (auch das Erdgeschoss ist ein Stockwerk) mit n ≥ 1.
Die Mieteinnahmen m betragen in 10000 €: m(n) = n.
Die Baukosten k betragen
k(n) = 200 + (20+0) + (20+1) + (20+2) + ... + (20+(n-1)) = 200 + 20⋅n + $\sum _{\mathrm{i=0}}^{\mathrm{n-1}}$ i = 200 + 20⋅n+$\frac{\mathrm{n\cdot (n-1)}}{2}$
Das Verhältnis v der Baukosten k zu Mieteinahmen m ist: v = $\frac{k}{m}$. v soll minimiert werden.
Hauptfunktion: v(n) = $\frac{\mathrm{200+20\cdot n+}\frac{\mathrm{n\cdot (n-1)}}{2}}{n}$ = $\frac{\mathrm{200}}{n}$ + 19,5 + $\frac{1}{2}$⋅n (soll minimiert werden)

Extremwert ermitteln:
Notwendige Bedingung: v'(n) = 0   →   v'(n) = -$\frac{\mathrm{200}}{n^2}$ + $\frac{1}{2}$ = 0   →  n_E = 20 (die Lösung n = -20 ist nicht sinnvoll)
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung
v ''(n_E) ≠ 0 mit v''(n) = $\frac{\mathrm{400}}{n^3}$.
v ''(n_E) = $\frac{\mathrm{400}}{{\mathrm{20}}^3}$ > 0   →   (20 / 39,5) ist rel. Minimum.
Das Verhältnis von Baukosten zu Mieteinnahmen ist für 20 Stockwerke am günstigsten. Das Verhältnis beträgt dann 39,5, d.h. nach 39,5 Monaten hätte sich das Projekt amortisiert, wenn man Betriebskosten außer Acht lässt.

zu a)
Ansatz für die Diagonale: d(x) = m⋅x + b    Verlauf durch die Punkte D(0/2) und B(5/0)
Dann: Steigung m = $\frac{\mathrm{\delta y}}{\mathrm{\delta x}}$ = $\frac{\mathrm{0-2}}{\mathrm{5-0}}$ = -$\frac{2}{5}$ = - 0,4
Der y-Achsenabschnitt b ist direkt ablesbar (wegen Punkt D): b = 2   →   d(x) = -0,4⋅x + 2

zu b)
Hauptfunktion Fläche A(a,b) = a ⋅ b maximieren
Nebenbedingung: b = - 0,4⋅a + 2
Einsetzen in die Hauptfunktion führt zur
Zielfunktion: A(a) = a ⋅ (- 0,4⋅a + 2) = - 0,4 a² + 2⋅ a
Extremwert ermitteln:
Notwendige Bedingung: A'(a) = 0   →   A'(a) = - 0,8⋅a + 2 = 0   →  a_E = 2,5
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung
A ''(a_E) ≠ 0 mit A''(a) = - 0,8.
A ''(a_E) = - 0,8 < 0   →   a_E = 2,5 ist rel. Maximum.
Nun noch a_E in die Hauptfunktion oder Zielfunktion sowie die Nebenbedingung einsetzen.
Dann ist b_E = - 0,4 ⋅ 2,5 + 2 = 1 und die maximale Fläche: A(a,b) = 2,5 ⋅ 1 = 2,5.

Antwort: Die maximale Fläche beträgt 2,5 m² bei einer Länge von 2,5 m und einer Breite von 1 m.

Ansatz mit Volumen eines Kegels mit Radius r > 0 sowie Höhe h >0:
V(r,h) = $\frac{1}{3}$⋅π⋅r²⋅h soll minimiert werden.
Nebenbedingung mit Strahlensatz (Zentrum B):
$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BM}}$ = $\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{MA}}$   →   $\frac{\mathrm{r-1}}{r}$ = $\frac{2}{h}$   →   h = $\frac{\mathrm{2\cdot r}}{\mathrm{r-1}}$

Einsetzen in die Hauptfunktion führt zur
Zielfunktion: V(r) = $\frac{1}{3}$⋅π⋅r²⋅$\frac{\mathrm{2\cdot r}}{\mathrm{r-1}}$ = $\frac{2}{3}$⋅π⋅$\frac{r^3}{\mathrm{r-1}}$

Extremwert ermitteln:
Notwendige Bedingung: V '(r) = 0   →   V '(r) = $\frac{2}{3}$⋅π⋅$\frac{\mathrm{(r-1)\cdot 3\cdot }{r}^2\mathrm{-1\cdot }{r}^3}{{\mathrm{(r-1)}}^2}$ = 0
  →   2⋅r³ - 3⋅r² = r²⋅(2⋅r - 3) = 0   →   r_E1 = 0 oder r_E2 = 1,5
Nur r_E2 sinnvoll
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung mit Vorzeichenwechsel für die 1. Ableitung (Bildung 2. Ableitung ist aufwendig).
V '(1,4) = $\frac{2}{3}$⋅π⋅$\frac{\mathrm{(1,4-1)\cdot 3\cdot }{\mathrm{1,4}}^2\mathrm{-1\cdot }{\mathrm{1,4}}^3}{{\mathrm{(1,4-1)}}^2}$ < 0
V '(2) = $\frac{2}{3}$⋅π⋅$\frac{\mathrm{(2-1)\cdot 3\cdot }{2}^2\mathrm{-1\cdot }{2}^3}{{\mathrm{(2-1)}}^2}$ > 0
  →   an der Stelle r_E2 liegt ein relatives Minimum vor. Nun noch r_E2 in die Hauptfunktion oder Zielfunktion sowie die Nebenbedingung einsetzen.
Dann ist h_E = $\frac{\mathrm{2\cdot 1,5}}{\mathrm{1,5-1}}$ = 6 und das maximale Volumen: V(r,h) = $\frac{1}{3}$⋅π⋅1,5²⋅6 = 4,5.

Antwort: Das maximale Volumen des Kegels beträgt 4,5 Volumeneinheiten bei einem Radius von 1,5 Längeneinheiten und einer Höhe von 6 Längeneinheiten.

zu a)
Ansatz: wegen der Punktsymmetrie nur ungerade Exponenten, deshalb
f(x) = a₃⋅x³ + a₁⋅x und daraus f '(x) = 3⋅a₃⋅x² + a₁
Bedingungen:
I.   f(2) = 8   →   a₃⋅2³ + a₁⋅2 = 8   →   8⋅a₃ + 2⋅a₁ = 8
II.  f '(2) = 0   →   3⋅a₃⋅2² + a₁ = 0   →   12⋅a₃ + a₁ = 0
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems können die einschlägig bekannten Verfahren (z.B. Additionsverfahren) verwendet werden - oder einen Taschenrechner bemühen.
Dann: a₁ = 6 sowie a₃ = -$\frac{1}{2}$
Die Zuordnungsvorschrift lautet: f(x) = -$\frac{1}{2}$⋅x³ + 6

zu b)
Ansatz: f(x) = a₄⋅x⁴ + a₃⋅x³ + a₂⋅x² + a₁⋅x + a₀ und daraus
f '(x) = 4⋅a₄⋅x³ + 3⋅a₃⋅x² +2⋅a₂⋅x + a₁ sowie f ''(x) = 12⋅a₄⋅x² + 6⋅a₃⋅x +2⋅a₂
Bedingungen:
I.   f(0) = 0   →   a₄⋅0⁴ + a₃⋅0³ + a₂⋅0² + a₁⋅0 + a₀ = 0   →   a₀ = 0
II.  f '(0) = 0   →   4⋅a₄⋅0³ + 3⋅a₃⋅0² +2⋅a₂⋅0 + a₁ = 0   →   a₁ = 0
III. f ''(0) = 0   →   12⋅a₄⋅0² + 6⋅a₃⋅0 +2⋅a₂   →   a₂ = 0
IV. f(2) = 4   →   a₄⋅2⁴ + a₃⋅2³ + a₂⋅2² + a₁⋅2 + a₀ = 4   →   16⋅a₄ + 8⋅a₃ = 4 (mit I. , II. , III.)
V.  f '(2) = 0   →   4⋅a₄⋅2³ + 3⋅a₃⋅2² +2⋅a₂⋅2 + a₁ = 0   →   32⋅a₄ + 12⋅a₃ = 0 (mit I. , II. , III.)
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems können die einschlägig bekannten Verfahren (z.B. Additionsverfahren) verwendet werden - oder einen Taschenrechner bemühen.
Dann: a₄ = -$\frac{3}{4}$ sowie a₃ = 2
Die Zuordnungsvorschrift lautet: f(x) = -$\frac{3}{4}$⋅x⁴ + 2⋅x³

a) f '(x) = sin (x) + x ⋅ cos(x)
b) f '(x) = 6 ⋅ cos(2x)
c) f '(x) = -2 ⋅ sin (2x - 1)
d) f '(x) = $\frac{4}{{\cos }^2\mathrm{(4x\; +\; 2)}}$

Vorbemerkung: Es gilt: 1 ml = 1 cm³ , deshalb alle Einheiten in cm.
Es soll die Oberfläche O einer Dose minimiert werden. Die Dose ist ein Zylinder mit dem Radius r sowie der Höhe h (r,h > 0). Deshalb ist der Ansatz:

Hauptfunktion: Oberfläche O(r,h) = 2⋅π⋅r² + 2⋅π⋅r⋅h = 2⋅π⋅r⋅(r+ h)   (gesucht: Minimum)

Nebenbedingungen: Volumen V(r,h) = π⋅r²⋅h = 850   →   h = $\frac{\mathrm{850}}{{\mathrm{\pi \cdot r}}^2}$
Anmerkung: Das Ersetzen von r führt auf eine deutlich schwierigere Zielfunktion.

Einsetzen in die Hauptbedingung führt zur
Zielfunktion O(r) = 2⋅π⋅r² + 2⋅π⋅r⋅$\frac{\mathrm{850}}{{\mathrm{\pi \cdot r}}^2}$ = 2⋅π⋅r² + $\frac{\mathrm{1700}}{r}$

Extremwert ermitteln:
Notwendige Bedingung: O '(r) = 0   →   O '(r) = 4⋅π⋅r - $\frac{\mathrm{1700}}{r^2}$ = 0   →   r³ = $\frac{\mathrm{425}}{\pi }$   →   r_E ≈ 5,13
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung
O ''(r_E) ≠ 0 mit O''(r) = 4⋅π + $\frac{\mathrm{3400}}{r^3}$.
O ''(r_E) = 4⋅π + $\frac{\mathrm{3400}}{{\mathrm{5,13}}^3}$ > 0   →   r_E ≈ 5,13 ist rel. Minimum.
Nun noch r_E in die Hauptfunktion oder Zielfunktion sowie die Nebenbedingung einsetzen. Dann ist h_E = $\frac{\mathrm{850}}{{\mathrm{\pi \cdot 5,13}}^2}$ ≈ 10,28 und die minimale Oberfläche: O(r,h) ≈ 2⋅π⋅5,13² + 2⋅π⋅5,13⋅10,28 ≈ 364.

Antwort: Die minimale Oberfläche der Dose mit 850 ml Inhalt beträgt etwa 364 cm². Der Radius ist 5,13 cm und die Höhe 10,28 cm.
Anmerkung: Die Höhe entspricht dem Doppelten des Radius. Abweichungen bei den obigen Angaben enstehen durch Rundungen.

zu a)
Notwendige Bedingung: f_t'(x) = 3⋅x² – 6⋅t⋅x = 3⋅x⋅(x - 2⋅t) = 0   →   x_E1 = 0 oder x_E2 = 2⋅t
Falls die notwendige Bedingung erfüllt ist, genügt als Überprüfung die hinreichende Bedingung
f_t''(x_E) ≠ 0 mit f_t''(x) = 6⋅x - 6⋅t.
f_t''(x_E1) = f_t''(0) = 6⋅0 - 6⋅t = - 6⋅t < 0 (wegen t > 0)   →   an der Stelle x_E1 = 0 liegt ein rel. Maximum vor.
f_t''(x_E2) = f_t''(2⋅t) = 6⋅2⋅t - 6⋅t = 6⋅t > 0 (wegen t > 0)   →   (2⋅t / -4⋅t³) ist rel. Minimum.

zu b)
Die vom Ursprung verschiedene Nullstelle ist x_N = 3⋅t, denn f_t(x_N) = 0 = x²⋅(x - 3⋅t)   →   x_N1 = 0 oder x_N2 = 3⋅t.
Ansatz: f_t'(x_N2) = 1 , denn die Steigung der ersten Winkelhalbierenden beträgt m = 1.
Also: f_t'(3⋅t) = 3⋅(3⋅t)² – 6⋅t⋅3⋅t = 9⋅t² = 1   →   t = $\frac{1}{3}$. (wegen t > 0)
f_1/3 besitzt an der vom Ursprung verschiedenen Nullstelle eine Tangente, die parallel zur ersten Winkelhalbierenden ist.