zu a)
Punkte in die Kugelgleichung einsetzen:
B einsetzen: \( \left(\begin{pmatrix}3\\6\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\3\\5 \end{pmatrix} \right) ^2 = \begin{pmatrix}4\\3\\-3\end{pmatrix} ^2 =4^2+3^2+(-3)^2 = 34 > 25\)
B liegt außerhalb der Kugel K.

A einsetzen: \( \left(\begin{pmatrix}2\\3\\9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\3\\5 \end{pmatrix} \right) ^2 = \begin{pmatrix}3\\0\\4 \end{pmatrix} ^2 =3^2+0^2+4^2 = 25\)
A erfüllt die Kugelgleichung  →  A ∈ K.

zu b)
Es ist der Mittelpunkt M_S und der Radius r_S des Schnittkreises zu bestimmen.
Der Mittelpunkt M_S ist der Schnittpunkt der Ebene E mit der zu E orthogonalen Geraden g durch den Mittelpunkt M der Kugel.
g: \(\vec{r}= \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}\)
Nun g in die Normalenform von E einsetzen:
\(\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=0\) \(~\rightarrow~59+107\lambda-26=0\) \(~\rightarrow ~\lambda=-\frac{33}{107}\)
λ in g einsetzen:
\(\vec{f}= \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} - \frac{33}{107}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix}\)  →  M_S(\(-\frac{140}{107}\)/\(\frac{156}{107}\)/\(\frac{238}{107}\))   

Der Radius r_S des Schnittkreises wird bestimmt mit dem Satz des Pythagoras: r_S = \(\sqrt{r^2-|MM_S|^2}\)
mit r = 5 sowie MM_S = \(\sqrt{(-\frac{140}{107}+1)^2+(\frac{156}{107}-3)^2+(\frac{238}{107}-5)^2}=\frac{\sqrt{116523}}{107}\approx3,19\)
Daraus folgt r_S = \(\sqrt{r^2-|MM_S|^2}=\sqrt{25-\frac{116523}{107^2}}\approx3,85\)

zu c)
Die Gleichung der Tangentialebene T an eine Kugel K (mit Mittelpunkt M und Radius r) im Berührpunkt B lautet:
T: \((\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{b}-\vec{m})=r^2\)
Durch Einsetzen erhält man T: \(\left(\vec{x} - \begin{pmatrix}-1\\3\\5 \end{pmatrix} \right)\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\3\\9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\3\\5 \end{pmatrix} \right)=25\)
Zusammenfassen: T: \(\left(\vec{x} - \begin{pmatrix}-1\\3\\5 \end{pmatrix} \right)\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\4 \end{pmatrix}=25\)  oder  T: \(\begin{pmatrix}3\\0\\4 \end{pmatrix}\cdot\vec{x}-42=0\)

Zum Berührpunkt A' der parallelen Tangentialebene T' gelangt man durch
\(\vec{a'}=\vec{m}+\vec{AM}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Nun wieder in die Gleichung einer Tangentialebene einsetzen:

T': \(\left(\vec{x} - \begin{pmatrix}-1\\3\\5 \end{pmatrix} \right)\cdot\left(\begin{pmatrix}-4\\3\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\3\\5 \end{pmatrix} \right)=25\)
Zusammenfassen: T': \(\left(\vec{x} - \begin{pmatrix}-1\\3\\5 \end{pmatrix} \right)\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\-4 \end{pmatrix}=25\)  oder  T': \(\begin{pmatrix}3\\0\\4 \end{pmatrix}\cdot\vec{x}+8=0\)

Anmerkung: Mit Hilfe der Hesse-Form der Tangentialgleichungen (einfach jeweils durch den Betrag des Normalenvektors - also 5 - dividieren) erkennt man, dass die Tangentialebene T den Abstand \(\frac{42}{5}\) und die Tangentialebene T' den Abstand \(\frac{8}{5}\) vom Ursprung besitzen, aber auf verschiedenen Seiten des Ursprungs (zu erkennen an den unterschiedlichen Vorzeichen). Insgesamt besitzen sie demnach den Abstand 10 voneinander. Das entspricht gerade dem doppelten Raius der Kugel. So wurde schließlich A' auch konstruiert.

zu d)
Die maximale Entfernung beträgt r + |\(\vec{MM_S}\)| ≈ 8,19 LE.
Die minimale Entfernung beträgt r - |\(\vec{MM_S}\)| ≈ 1,81 LE.

zu a)
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix} 1 \\ 8\\ -5 \end{pmatrix}~~~~~~~~\vec{AC}=\begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix}~~~~~~~~\vec{BC}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\)

\(\vec{AC}\cdot\vec{BC}=\begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}=6+0-6=0~\rightarrow~\vec{AC}\perp\vec{BC}\)

zu b)
Ebene E in Punktrichtungsform:
E: \( \vec{r}~=~ \vec{a}~+~\lambda\cdot(\vec{b}-\vec{a})~+~\mu\cdot(\vec{c}-\vec{a})~~\)
E: \(\vec{r}~=~\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 8\\ -5 \end{pmatrix}~+~\mu \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix}\)

Ebene E in Normalenform: \(\vec{n}\cdot (\vec{r}-\vec{a})=0 \) mit

Normalenvektor \(\vec{n'}=\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 24 \\ 12 \\ 24 \end{pmatrix} \)\(~\rightarrow~\vec{n}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Und daraus E: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \left(\vec{r}- \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\right)=0\)

oder in Koordinatenform E: 2x₁ + x₁ + 2x₃ - 2 = 0

zu c)
Mit der 2-Punkte -Form folgt: g: \( \vec{r}~=~ \vec{d}~+~\lambda\cdot(\vec{f}-\vec{d})~\)\(~\rightarrow~~\vec{r}~=~\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Determinante der Spannvektoren und des Richtungsvektor bestimmen:
det(\(\vec{AB},\vec{AC},\vec{DF}\)) = 48 ≠ 0 → g und E schneiden sich.

zu d)
Zum Ortsvektor des Punktes A wird die dreifache Länge des Normaleneinheitsvektors von E addiert oder subtrahiert.
\(\vec{m_1}=\vec{a}+3\cdot\frac{1}{3}\cdot\vec{n^0}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}+3\cdot\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\)\(~\rightarrow~M_1(2/-3/5)\)

\(\vec{m_2}=\vec{a}-3\cdot\frac{1}{3}\cdot\vec{n^0}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}-3\cdot\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}\)\(~\rightarrow~M_1(-2/-5/1)\)

zu e)
K ist ein Berührpunkt des Kegels an die Kugel. Die Höhe h des Dreiecks DKM₁ entspricht dem Radius der Grundfläche des Tangentialkegels. Die Höhe des Tangentialkegels entspricht dem Abstand der Punkte N und D.
Das Dreieck DKM₁ ist rechtwinklig aufgrund der Tangentialkonstruktion.
Der Tangentialkegel berührt die Kugel in einem Kreis.
Dieser Kreis ist der Schnittkreis der Kugel mit der Ebene T: \((\vec{x}-\vec{m_1})\cdot(\vec{d}-\vec{m_1})=r^2\)
Es gilt: T: \(\left(\vec{x} - \begin{pmatrix}2\\-3\\5 \end{pmatrix} \right)\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\4\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\-3\\5 \end{pmatrix} \right)=9\)
Zusammenfassen: T: \(\left(\vec{x} - \begin{pmatrix}2\\-3\\5 \end{pmatrix} \right)\cdot\begin{pmatrix}0\\7\\-3 \end{pmatrix}=9\)  oder 
T: \(\begin{pmatrix}0\\7\\-3 \end{pmatrix}\cdot\vec{x}+27=0\)

N ist der Schnittpunkt der Ebene T mit der zu T orthogonalen Geraden h durch D (bzw. M₁).
h: \( \vec{r}~=~ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix} \)

h in T einsetzen:
\(\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix}\right)+27=0\) \(~\rightarrow~22+58\lambda+27=0\) \(~\rightarrow ~\lambda=-\frac{49}{58}\)
λ in h einsetzen:
\(\vec{f}= \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} -\frac{49}{58}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(~\rightarrow~N(2/-\frac{111}{58}/\frac{263}{58})\)

Höhe des Tangentialkegels h_K = |\(\vec{DN}\)| = \(\left|\frac{1}{58}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -343 \\ 147 \end{pmatrix}\right|\approx 6,43\)
Es gilt: |\(\vec{DM_1}\)| = \(\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -7 \\ 3 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{58}\approx 7,62\)
Daraus folgt: |\(\vec{NM_1}\)| ≈ 7,62 - 6,43 = 1,19.
Mit dem Höhensatz des Euklid lässt sich nun leicht die Höhe h berechnen: h = \(\sqrt{\vec{NM_1}\cdot\vec{DN}} \approx 2,77\).
Daraus erhält man für das Volumen des Tangentialkegels:
V = \(\frac{1}{3}\)⋅2,77²⋅6,43 ≈ 16,4 VE.

s. Üb-Geometrie

zu a)
P eingesetzt in E_k: k² + k - 6 = 0  →  k₁ = -3 und k₂ = 2.
Alle Ebenen der Ebenenschar enthalten den Punkt Q, denn für jedes k wird dann die Ebenengleichung erfüllt.
Die Ebenen E_-3 und E₂ enthalten die Punkte P und Q.

zu b)
Die Gerade g enthält die Punkte P und Q. Daraus folgt (2-Punkte-Form):
g: \(\vec{r}~=~\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} ~+~\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \)

E₂: \(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \vec{x} - 4 = 0\)
E_-3: \(\begin{pmatrix} -3 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \vec{x} - 9 = 0\)

Nun den Winkel α zwischen den Normalenvektoren berechenen:
Deshalb: \(\alpha ~=~arccos\frac{\left|\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix}\right|}{\sqrt{24}\cdot\sqrt{99}}~=~arccos\frac{34}{\sqrt{2376}}~\approx~45,8^\circ\)

Der Winkel zwischen den Ebenen E₂ und E_-3 beträgt α ≈ 45,8^°.

zu c)
Hesse-Form einer Ebene E_k: \(\frac{1}{\sqrt{k^2+k^4+4}}\cdot\begin{pmatrix} k \\ k^2 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \vec{x} - \frac{k^2}{\sqrt{k^2+k^4+4}} = 0\)
Der zweite Summand gibt den Abstand e(k) der Ebene E_k vom Ursprung an.
Da k² + 4 > 0 gilt, ist \(\sqrt{k^2+k^4+4}>k^2\). Deshalb gilt e(k) < 1.

zu d)
Der Winkel zwischen der x₃-Achse und dem Normalenvektor von E_k muss dann 60^° betragen.
Es gilt: cos 60^° = \(\frac{1}{2}\). Dann: \(\frac{1}{2}=\frac{\left|\begin{pmatrix} k \\ k^2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right|}{\sqrt{k^2+k^4+4}\cdot\sqrt{1}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+k^4+4}}\)
Umformen: \(k^4+k^2-12=0\)
Substituiere z = k²  →  z² + z - 12 = 0.
Dann: z_1,2 = \(-\frac{1}{2}\pm \sqrt{12,25}=-0,5\pm 3,5~\rightarrow~ z_1=-4~und ~z_2=3\)
Nun zurück auf k schließen. Das ist nur für z₂ möglich. Daraus folgt k = -\(\sqrt{3}\) oder k = \(\sqrt{3}\).

zu e)
Der Richtungsvektor von g und ein Normalenvektor von E_k müssen kollinear sein.
Dann gibt es ein a ∈ R mit \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}= a\cdot\begin{pmatrix} k \\ k^2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Betrachtet man die x₃-Komponenten, folgt a = -1,5.
Aus den x₁-Komponenten folgt dann k = \(-\frac{2}{3}\).
Überprüft man nun die x₂-Komponenten, erhält man einen Widerspruch: 1 ≠ \(\frac{2}{3}\).
Keine der Ebenen der Ebenenschar ist orthogonal zu g.

zu f)
U in K einsetzen: \( \left(\begin{pmatrix}3\\-2\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \right) ^2 = \begin{pmatrix}2\\-4\\-4 \end{pmatrix} ^2 =2^2+(-4)^2+(-4)^2 = 36\)
U erfüllt die Kugelgleichung  →  U ∈ K.

Ebene E_-1: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \vec{x} - 1 = 0\)
Es ist der Mittelpunkt N und der Radius r_S des Schnittkreises zu bestimmen.
Der Mittelpunkt N ist der Schnittpunkt der Ebene E mit der zu E_-1 orthogonalen Geraden h durch den Mittelpunkt M der Kugel.
h: \(\vec{r}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Nun h in die Normalenform von E_-1 einsetzen:
\(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)-1=0\) \(~\rightarrow~7+6\lambda-1=0\) \(~\rightarrow ~\lambda=-1\)
λ in h einsetzen:
\(\vec{f}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 1\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)  →  N(2/1/1)   

Der Radius r_S des Schnittkreises wird bestimmt mit dem Satz des Pythagoras: r_S = \(\sqrt{r^2-|MN|^2}\)
mit r = 6 sowie |\(\vec{MN}\)| = \(\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{6}\)
Daraus folgt r_S = \(\sqrt{r^2-|MN|^2}=\sqrt{36-6}=\sqrt{30}\)

DAmit R auf dem Schnittkreis liegt, muss er die Ebenengleichung E_-1 und die Kugelgleichung K erfüllen.
Einsetzen in E_-1: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} - 1 = 0~\rightarrow~R\in E_{-1}\)
Einsetzen in K: \( \left(\begin{pmatrix}3\\6\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \right) ^2 =2^2+4^2+(-4)^2=36~\rightarrow~R\in K\)

Die Gleichung der Tangentialebene T an eine Kugel K (mit Mittelpunkt M und Radius r) im Berührpunkt R lautet:
T: \((\vec{x}-\vec{m})\cdot(\vec{r}-\vec{m})=r^2\)
Durch Einsetzen erhält man T: \(\left(\vec{x} - \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \right)\cdot\left(\begin{pmatrix}3\\6\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \right)=36\)
Zusammenfassen: T: \(\left(\vec{x} - \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \right)\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\-4 \end{pmatrix}=36\)  oder  T: \(\begin{pmatrix}2\\4\\-4 \end{pmatrix}\cdot\vec{x}-34=0\)

T in Koordinatenform: x₁ + 2x₂ − 2x₃ −17 = 0.