Idee:

Der erste Pirat, den der Wächter in das Zimmer bringt, ist der 'Zähler'. Er ermittelt die Anzahl der Piraten, die bereits im Zimmer waren.

Zum Verhalten der Piraten:

der Zähler:

Ist die Lampe an, löscht er diese und erhöht die Anzahl der bereits im Zimmer befindlichen Piraten. Ist die Anzahl gleich der Gesamtzahl der Piraten, teilt er das dem Wächter mit.
Ist die Lampe aus, macht er nichts.

jeder andere Pirat:

Ist die Lampe aus und er hat noch niemals die Lampe angeschaltet, schaltet er sie ein.
Sonst macht er nichts.

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Nachfolgend finden sich zwei verschiedene Realisierungen des oben angegebenen Verfahrens.

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Mathematische Betrachtung:

Um den Erwartungswert des Verfahrens zu ermitteln, kann man auf eine geometrische Verteilung zurückgreifen. Jeder Pirat erhält eine Nummer von 1 bis N. N ist die Gesamtzahl der Piraten. Die Piraten werden zufällig ausgewählt, somit ist jede Nummer von 1 bis N gleichwahrscheinlich. Jede Nummer wird mit der Wahrscheinlichkeit p = $\frac{1}{\mathrm{N}}$ gewählt. Wenn Y die Zufallsvariable ist, die die Anzahl der Tage bis zum ersten Aufruf einer bestimmten Nummer (zwischen 1 und N) angibt, ist Y geometrisch verteilt. Es gilt bekanntlich: P(Y=k) = (1-p)^k-1 p und der zugehörige Erwartungswert ist E(Y) = $\frac{1}{\mathrm{p}}$ .
Alle Piraten sollen aufgerufen werden. Das ist das Problem der vollständigen Serie.
Die Zufallsvariablen X_i geben die Anzahl der Tage bis zum ersten Aufruf des i. Piraten (nicht notwendigerweise des Piraten mit der Nummer i) an: also X₂ ist die Anzahl der Tage bis zum Aufruf eines Piraten, der vom ersten Piraten verschieden ist. X₃ ist die Anzahl der Tage bis zum Aufruf eines Piraten, der vom ersten und zweiten Piraten verschieden ist usw.
Die Wahrscheinlichkeit beispielsweise für X₃ ist p₃ = $\frac{\mathrm{N-2}}{\mathrm{N}}$, allgemein: p_i = $\frac{\mathrm{N+1-i}}{\mathrm{N}}$; i ∊ {1, ... , N}.
Der Erwartungswert ist dann der Kehrwert: E(X₃)= $\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N-2}}$, allgemein: E(X_i) = $\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N+1-i}}$
Der Erwartungswert für die Anzahl X der Aufrufe ist E(X) = E(X₁) + E(X₂) + ... + E(X_N).
Und weiter: E(X) = $\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}}$ + $\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N-1}}$ + ... + $\frac{\mathrm{N}}{1}$ = N ( $\frac{1}{\mathrm{N}}$ + $\frac{1}{\mathrm{N-1}}$ + ... + $\frac{1}{1}$).

Für den Erwartungswert des gesamten Verfahrens gilt nun:

	-	alle Piraten müssen aufgerufen werden -> vollständige Serie
	-	jedes Mal, wenn ein neuer Pirat aufgerufen wurde (also Gesamtzahl - 1), muss man warten, bis der Zähler die Lampe wieder löscht -> jeweils Erwartungswert N.

Insgesamt: E(X) = N · ( $\frac{1}{\mathrm{N}}$ + $\frac{1}{\mathrm{N-1}}$ + ... + $\frac{1}{1}$) + N · (N-1).